三平方の定理と相似

直角三角形 $\triangle ABC$ で、直角をもつ頂点 $C$ から斜辺 $BA$ に向け垂線 $CH$ を引く。

はじめに、垂線の足 $H$ の位置を確かめておく。$\angle ACB = 90^\circ$ なので $\angle ABC + \angle BAC = 90^\circ$ であり、この2つはどちらも鋭角。もし $H$ が $B$ の外側 ($AB$ の延長上) にあるとすると、$\angle CBH$ は $\angle ABC$ の外角になり、$\angle ABC$ が鈍角になってしまう。$A$ の外側でも同じ。また $H$ が $B$ や $A$ に重なると、その頂点の角が直角になってしまう。よって $H$ は $B$ と $A$ の間にある。

このことから、$\angle CBH$ は $\angle ABC$ そのもの、$\angle CAH$ は $\angle BAC$ そのものであり、さらに垂線 $CH$ は $\triangle ABC$ を2つの三角形に分ける。

そのうえで、$\triangle ABC$ と $\triangle CBH$ を比べると、$\angle ACB = \angle CHB = 90^\circ$ で直角が等しく、頂点 $B$ の角は共通。$\triangle ABC$ と $\triangle ACH$ を比べると、$\angle ACB = \angle AHC = 90^\circ$ で直角が等しく、頂点 $A$ の角が共通。どちらも2組の角がそれぞれ等しいので、

$\triangle ABC \sim \triangle CBH$ …①

$\triangle ABC \sim \triangle ACH$ …②

であり、①と②をまとめると、

$\triangle ABC \sim \triangle CBH \sim \triangle ACH$ …③

となる。

③の対応の順に頂点を見ると、直角をもつ頂点はどれも3番目 ($C$、$H$、$H$) にくる。斜辺はその頂点と向かい合う辺、つまり1番目と2番目を結ぶ辺なので、順に $AB = c$、$CB = a$、$CA = b$。これらの直角三角形のそれぞれの斜辺から、相似比は $c : a : b$。

3つとも直角三角形なので、面積は「直角をはさむ2辺の積の半分」で出せる。対応する辺が $k$ 倍になっていれば、その2辺もどちらも $k$ 倍なので、面積は $k^2$ 倍になる。そのため、面積比は $c^2 : a^2 : b^2$ となる。

したがって、3つの直角三角形の面積は、正の数 $k$ を用いて、

と表せる。

垂線 $CH$ が $\triangle ABC$ を2つに分けていたので、$\triangle ABC = \triangle CBH + \triangle ACH$ であるため、

面積は正の数だから $k > 0$。両辺を $k$ で割ると、

と三平方の定理が求まった。∎

直角三角形 $\triangle ABC$ で、直角をもつ頂点 $C$ から斜辺 $BA$ に向け垂線 $CH$ を引く。

証明①で確かめたとおり、$H$ は $B$ と $A$ の間にある。このとき、直角と共通な角より、2組の角がそれぞれ等しいので、

$\triangle ABC \sim \triangle CBH$ …①

$\triangle ABC \sim \triangle ACH$ …②

である。

①より、対応する辺の比は等しい。$A \to B \to C$ と $C \to B \to H$ が対応しているので、1番目と2番目を結ぶ辺どうし ($AB$ と $CB$)、2番目と3番目を結ぶ辺どうし ($BC$ と $BH$) を並べる。あとは内項の積と外項の積が等しいことを使って、

であり、同様に②より、$A \to B \to C$ と $A \to C \to H$ が対応している。1番目と2番目を結ぶ辺どうし ($AB$ と $AC$)、3番目と1番目を結ぶ辺どうし ($CA$ と $HA$) を並べて、

が求まる。

③, ④ より、$H$ が $B$ と $A$ の間にあることから $BH + AH = BA = c$ なので、

と三平方の定理が求まった。∎